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小学数学分类及解题技巧

发布时间:2019-06-07 16:24 作者:宁夏小源 次数:
质数与合数
 
质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
 
合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
 
质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
 
分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
 
分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1<a2<a3<……<an。
 
求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
 
互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
 
约数与倍数
 
约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
 
公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
 
最大公约数的性质:
 
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
 
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
 
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
 
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
 
例如:12的约数有1、2、3、4、6、12;
 
18的约数有:1、2、3、6、9、18;
 
那么12和18的公约数有:1、2、3、6;
 
那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;
 
求最大公约数基本方法:
 
1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
 
2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。
 
3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
 
公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
 
12的倍数有:12、24、36、48……;
 
18的倍数有:18、36、54、72……;
 
那么12和18的公倍数有:36、72、108……;
 
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
 
最小公倍数的性质:
 
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
 
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
 
求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
 
数的整除
 
一、基本概念和符号:
 
1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
 
2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
 
二、整除判断方法:
 
1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。
 
2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
 
3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
 
4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。
 
5.能被7整除:
 
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
 
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
 
6.能被11整除:
 
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
 
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
 
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
 
7.能被13整除:
 
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
 
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
 
三、整除的性质:
 
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
 
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
 
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
 
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
 
余数及其应用
 
基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。
 
余数的性质:
 
①余数小于除数。
 
②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
 
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
 
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
 
余数、同余与周期
 
一、同余的定义:
 
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
 
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
 
二、同余的性质:
 
①自身性:a≡a(modm);
 
②对称性:若a≡b(modm),则b≡a(modm);
 
③传递性:若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);
 
④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
 
⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);
 
⑥乘方性:若a≡b(modm),则an≡bn(modm);
 
⑦同倍性:若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c);
 
三、关于乘方的预备知识:
 
①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b
 
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
 
四、被3、9、11除后的余数特征:
 
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
 
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
 
五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
 
分数与百分数的应用
 
基本概念与性质:
 
分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
 
分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
 
分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
 
百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。
 
常用方法:
 
①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
 
②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
 
③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
 
④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
 
⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
 
⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
 
⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
 
⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
 
分数大小的比较
 
基本方法:
 
①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
 
②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
 
③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
 
④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
 
⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)
 
⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
 
⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
 
⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
 
⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
 
⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。